线性与非线性
什么是非线性
非线性(non-linear)，即 变量之间的数学关系，不是直线而是曲线、曲面、或不确定的属性，叫非线性。非线性是自然界复杂性的典型性质之一;与线性相比，非线性更接近客观事物性质本身，是量化研究认识复杂知识的重要方法之一;凡是能用非线性描述的关系，通称非线性关系。
狭义的非线性是指不按比例、不成直线的数量关系，无法用线性形式表现的数量关系，如曲线、曲面等。而广义上看，是自变量以特殊的形式变化而产生的不同于传统的映射关系，如迭代关系的函数，上一次演算的映射为下一次演算的自变量，显然这是无法用通常的线性函数描绘和形容的。很显然，自然界事物的变化规律不是像简单的函数图像，他们当中存在着并非一一对应的关系。如果说线性关系是互不相干的独立关系，那么非线性则是体现相互作用的关系，正是这种相互作用，使得整体不再是简单地全部等于部分之和，而可能出现不同于”线性叠加”的增益或亏损。
线性与非线性的区别
非线性是相对于线性而言的，是对线性的否定，线性是非线性的特例，所以要弄清非线性的概念，明确什么是非线性，首先必须明确什么是线性，其次对非线性的界定必须从数学表述和物理地理意义两个方面阐述，才能较完整解非线性的概念。
(1) 线性
对线性的界定，一般是从相互关联的两个角度来进行的：其一，叠加原理成立：“如果，$ψ1$，$ψ2$是方程的两个解，那么$aψ1+bψ2$也是它的一个解，换言之，两个态的叠加仍然是一个态。”叠加原理成立意味着所考察系统的子系统间没有非线性相互作用。其二，物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量，这意味着函数的斜率在其定义域内处处存在且相等，变量间的比例关系在变量的整个定义域内是对称的。
注：
线性函数指函数中未知数的指数为1，且未知数不被三角函数等函数包含的函数，其在坐标系里表现的是直线，其他为非线性函数。
线性空间V上的一个变换$A$称为线性变换，如果对于$V$中任意的元素$α$，$β$和数域$P$中任意$k$，都有
$$A(α+β)=A（α）+A（β）$$
$$A(kα)=kA(α)$$
(2) 非线性
在明确了线性的含义后，相应地非线性概念就易于界定：
其一，“定义非线性算符$N(φ)$为对一些$a$、$b$或$φ$、$ψ$不满足$L(aφ+bψ)=aL(φ)+bL(ψ)$的算符”，即叠加原理不成立，这意味着$φ$与$ψ$间存在着耦合，对$(aφ+bψ)$的操作，等于分别对$φ$和$ψ$操作外，再加上对$φ$与$ψ$的交叉项(耦合项)的操作，或者$φ$、$ψ$是不连续(有突变或断裂)、不可微(有折点)的。
其二，作为等价的另—种表述，我们可以从另一个角度来理解非线性：在用于描述—个系统的一套确定的物理变量中，一个系统的一个变量最初的变化所造成的此变量或其它变量的相应变化是不成比例的，换言之，变量间的变化率不是恒量，函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方，概括地说，就是物理变量间的一级增量关系在变量的定义域内是不对称的。可以说，这种对称破缺是非线性关系的最基本的体现，也是非线性系统复杂性的根源。
对非线性概念的这两种表述实际上是等价的，其一叠加原理不成立必将导致其二物理变量关系不对称;反之，如果物理变量关系不对称，那么叠加原理将不成立。之所以采用了两种表述，是因为在不同的场合，对于不同的对象，两种表述有各自的方便之处，如前者对于考察系统中整体与部分的关系、微分方程的性质是方便的，后者对于考察特定的变量间的关系(包括变量的时间行为)将是方便的。
关于非线性概念需要强调的是，线性或非线性的提法是相对于物理变量而言的，也就是说，只有物理变量的关系才是判断是否是非线性的根据，而非物理变量的关系不能成为非线性与否的判据。这里所说的物理变量是指那些可以观测的、人们感兴趣的、对人类有意义的变量。例如分形理论中，简单分形的分维$D$是恒量，在无标度区间内$lnN=DlnL$，$lnN$与$lnL$是线性关系，但是显然不能籍此得出简单分形是线性的结论。这里的物理变量是$N$和 $L$，而不是经过对数变换的$lnN$与$lnL$，即人们可观测的、感兴趣的、对人们有意义的是$N$和$ L$，而不是$lnN$和$lnL$，$N$与$ L$的关系$N=L^D$是非线性的，所以可得出分形是非线性的结论。再如，物价对时间的直接关系(而不足Mandbrolt所统计的棉花价格指数的无标度性)正是人们感兴趣的、对人们有意义的，而且两者的关系是非线性的，所以物价随时间的变化是一种非线性现象。
非线性的性质
非线性科学正处于发展过程之中，它所研究的各门具体科学中的非线性普适类，有已经形成的 (如混沌、分形、孤子)，有正在形成的(如适应性与自涌行为)，还会有将要形成的，所以非线性的性质还没有完全呈现出来，这里也就不可能全面地讨论非线性的性质。下面仅从“非线性与线性的关系”、“非线性的物理机制”和“非线性与稳定性”三个方面作初步探讨。
(1) 非线性与线性的关系
非线性与线性是相对而言的，两者是一对矛盾的概念，一方面两者在一定程度上可以相互转化，另一方面两者又存在本质区别，再者两者同时存在于—个系统中，规定着系统相应方面的性质。
①非线性与线性的密切联系
首先，在数学上一些线性方程可转化为非线性方程来解。物理上的一些非线性问题，也可以通过数学变换而转化为线性方程来研究。如非线性的KdV方程通过散射反演方法化为线性的可积方程，从而求出了精确的解析解;一些非线性不强的问题，可用线性逼近方法将其转化为若干线性问题来求近似解，这是已在各门学科中广泛采用并相当有效的的方法。
其次，在某些情况下，由方程得到的解析解并不能提供更多的信息，无助于更好地理解系统的行为，而从解的非线性形式中，我们却可以方便地得到所研究系统的重要性质。如：考虑这样一个简单方程：$(d^2X)/(dt^2)+X=0$，它的解是$X=Acos(t)+Bsin(t)$，从这个非线性形式中，我们容易知道它是个周期函数，满足$cos(t+2π)=cos(t)$，$sin(t+2π)=sin(t)$。而从$cos(t)$和$sin(t)$的解析形式中，极难证明其具有相应的周期性这一重要性质。所以，认为线性方程可以得到解析解， 非线性方程难以得到解析解，因而线性能给出比非线性更多的有用信息是不确切的。这意味着，对某些问题从非线性的角度考察不仅是可能的，而且有时也是必要的。
所以，线性与非线性在一定程度上是可以相互转化的，这表明了线性与非线性之间有密切的联系。
②非线性与线性的本质区别
非线性与线性虽然可以通过数学变换而相互转化，在数学上有一定的联系，但是在同一视角、同一层次、同一参照系下，非线性与线性又是有本质区别的。
在数学上，线性函数关系是直线，而非线性函数关系是非直线，包括各种曲线、折线、不连续的线等;线性方程满足叠加原理，非线性方程不满足叠加原理;线性方程易于求出解析解，而非线性方程一般不能得出解析解。
在物理上，近线性问题(它不是我们所说的非线性问题)可用线性逼近方法求出一定精确度的解，即依据具体问题对精确度的要求，逐次解出若干个线性问题，把它们叠加起来，就能得到很好的近似解。但是对于非线性问题，由于存有小参数发散及收敛慢等问题，线性逼近方法将失效，特别是对于高速运动状态、强烈的相互作用、长时间的动态行为等非线性很强的情况，线性方法将完全无能为力。线性逼近方法的这些局限性，导致非线性方法的不可替代，在无法用线性方法处理的强非线性的地方，只能用非线性方法。线性逼近方法并非经常能奏效，这不光是方法论问题，也是自然观问题，自然界既有量变又有质变，在质变中， 自然界要经历跃变或转折，这是线性所不能包容的。
③非线性与线性在同一系统中的作用
非线性与线性有一定的联系又有本质区别，它们常同时存在于一个系统之中，规定着系统不同侧面的性质，一个确定的系统，一般都同时具有线性和非线性两种性质：首先，在一个给定的非线性系统中，它的非线性性质决定它的平衡构造或说稳定机制是否存在，及存在的地方。其次，系统的线性性质决定着系统关于其平衡点(稳定结构)的小振动的规律，即系统在稳定点附近的线性展开性质。
(2) 非线性的物理机制
相对于非线性的数学表达而言，它的物理机制是更重要的，也是我们更感兴趣的。非线性的物理机制有很多方面，至于哪方面是最根本的，还没有—致的认识。从非线性的定义来看，可以把非线性的物理机制表述为：一个测度的变化受到两个、两种或更多因素的联合影响，换言之就是非—次项的影响。具体的非线性方式决定于参与联合作用的因素间联合作用的方式，如：两种或多种因素联合作用，Lorenz吸引子中的X·Z是X与Z的联合作用;牛顿第二定律$F=m·a^2$中，$a^2=a·a$ 是两个相同的对人有意义的物理变量$a$与$a$的联合作用。下面从相互作用、耗散性、有限性、多值性四个方面具体地讨论非线性的物理机制。
①相互作用
非线性的—个最主要的物理机制，可以说就是相互作用。之所以说世界在本质上是非线性的，在很大程度上就是由于相互作用的普遍存在，完全孤立的事物是没有的(即使有，在原则上它的存在本身也就包含了它与认识主体——人的相互作用)。实际上，我们遇到的大都是处于某种相互作用网之中的事物，而任何事物在受其它事物作用、影响的同时，也作用于、影响着其它的事物，正如牛顿第三定律所表述的那样，作用与反作用是同时存在的，所以，我们要想准确地、深刻地认识一个事物，就要把该系统在其它系统作用下的行为规律与该系统对其它系统的影响联合起来考虑。这种双向的作用—般就出现非线性项，成为非线性问题。例如：场对粒子运动有作用，粒子的运动也使场发生变化，这时场方程和粒子运动方程就要联合起来考察，从而使之成为非线性问题，再如，人与自然、主体与客体都是双向作用的关系，原则上都将是非线性问题。
其实，双向作用的存在必将使其中之一通过对方而作用于自身，从而形成正的或负的反馈回路，起到放大或抑制的作用，使任何初始变化都会产生不成比例的响应，呈现出非线性现象。
②耗散性
这里所说的耗散性，是指能推动并维持系统远离平衡态的耗散性，而不是近平衡区内较弱的耗散性。
系统对能量的耗散是一个不可逆过程，输入系统的能量在流经输入端和输出端过程中，驱动系统做某种单向的不可逆的运动，其间会使子系统间产生非线性连接，实现协同运动，从而形成宏观有序状态。能量在系统内的耗散，相当于为系统内某些运动按了一个“泵”，这个泵的作用在很多的情况下，就是系统非线性现象的根源。例如：在Bénard实验中，扮演非线性现象物理机制的正是耗散性，耗散性的不断加强，使系统达到远离平衡态，产生规则的宏观结构以至呈现混沌状态;与此类似的如：Lorenz吸引子的机制是太阳光加热大气，大气在能量耗散过程中，为耗散性所驱动而产生混沌运动：再如：画包师变换中，无论是拉伸，还是折叠操作，实际上都是—种能量耗散过程。
从另一个角度说，对能量的耗散增强，使子系统相互作用程度增强、方式增多，也就使系统可能有的稳态的数目越来越多，局域稳定性越来越小，直到极端的混沌状态。在这—过程中，对系统未来的发展轨迹将难以准确预测，即未来现实发展道路的可能性越来越多，简并程度越来越高，因而可预测性越来越弱。这意味着耗散性导致了系统宏观运动时间反演对称性的破缺，也就是说当耗散加强时，原则上从系统现在的状态无法精确预测其未来的状态，未来不包含于现在之中，它有“新质”产生。
③ 有限性
现实的、具体的自然都是有限的自然，有限性及其结果蕴含于一切事物之中，在相应的方面规定着一切事物的性质。我们应该把有限性作为考虑一切事物的基本前提之—，作为自然界的—个基本事实。
有限性在一定情况下必然导致非线性，它是非线性的另一个重要机制。抽象地说，有限的事物相对于无限的事物而言丧失了许多对称性， 因而作用于其上的操作及结果都可能对应着由有限性直接导致的非对称性。具体地，如Robort May用以研究小生境的虫口模型 ，其非线性项的存在，就是由于环境容量R的有限造成的，如果R无限大，那么此模型就自然成为线性的了;拉伸机制与有限性造成的压缩机制的结合，才使奇异吸引子呈现局部不稳定性和整体稳定性，产生特定的非线性形式——混沌;除此之外，各种相互作用速度的有限、时空域的有限、结构方式的有限等等都可成为导致非线性的物理机制。
④多值性
动力系统中常会出现某些变量的一个值对应着其它变量多个值的情况，从物理上说， 就是相同的条件对应着多种可能的状态，约束条件的弱化使系统状态的简并性强化，使可能性非唯—化。多值性的存在，也就自然产生了多值解和对多种可能解的选择，多值性越强，系统就可能越复杂，相对于一定的多值性系统就会有相应的随机性。多值性的存在实际上是约束的有限造成的，对于有限约束所不能制约的方面，系统存在于它的一切可能性之中。
多值性在动力学方程中必然表现为非线性，因为只有非线性关系才具有多值性，线性关系不可能有多值性。例如：倍周期分叉过程，在分叉点一侧出现非唯一稳定轨道，使系统的演化轨迹出现随机性、复杂性，—方面可以说这里是非线性产生了多值性，另一方面也可以说这里的非线性物理机制正是系统的多值性。再如：哈密顿系统的三体问题，在考虑小质量物体运动时，由于两个大质量物体造成的引力势场中，存在引力势为0的面、点等特殊空时区域(即两个大质量物体的作用相互抵消的地方)，小质量物体在这些特殊区域的可能轨道就有了多种选择，即约束的弱化造成了系统可能状态的多值化。这种多值性在数学上就表现为非线性，它是复杂现象的重要根源之—。
(3)非线性与稳定性的关系
稳定性问题是我们研究系统动力学性质的一个先验角度，系统稳定的条件、机制、类型， 失稳的条件、机制、类型，及由稳定到不稳定，由不稳定到稳定的—般规律，对于我们理解一般系统和具体系统的动力学行为都是极为重要的。而稳定性与非线性有着密切的关系， 简言之，处于稳定的系统，必然存在非线性的李雅普诺夫函数(Lyapunov function)。
所谓稳定性是用来刻划系统在受到扰动后的行为的，“事物的存在方式或运动状态，不会因为扰动、起伏涨落而改变就谓之稳定。如果有一个或多个小的扰动，使系统的存在方式或运动状态发生了改变，而后，系统又能克服扰动自动地回到未受扰动前的状态，这种系统就是稳定的。”其实，所谓稳定都是相对于—定的扰动而言的，系统的抗扰能力可用稳定程度来标度，稳定程度是我们对系统的稳定性进行区分、刻划的不可缺少的变量。
稳定性有多种类型，我们这里所说的是局域稳定性，即“相对于—定的扰动而言，系统是稳定的”，它包含了两个方面的意思，①在我们考察的系统状态附近存在Lyapunov函数， ②环境扰动小于由Lyapunov函数的存在域确定的系统的稳定程度。
总之，无论 是线性的，还是非线性的，只要它是稳定的，那么它就对应着某个非线性的Lyapunov函数 。
如：超循环结构的稳定性来源于子系统间的功能耦合造成的非线性;耗散结构的稳定性源于子系统间的协同相互作用，这种相互作用也是非线性的;倍周期分叉序列及混沌区中的周期窗口，这些轨道的稳定也都是非线性机制产生的;奇异吸引子的整体稳定性是系统的耗散性这一非线性机制的结果。可以说，稳态存在的地方，必然存在非线性。
不稳定在数学上对应着势函数的极大区域，势函数是凸的，其中包括函数的一阶导数等于0，二阶导数小于0的极大值点;物理上，势阱深度小于等于内外涨落的强度。显然线性关系不会造成这种不稳定性，不稳定机制是一种非线性机制。上文所谈及的各种非线性物理机制在一定情况下都将导致不稳定性。
造成混沌轨道指数发散的伸缩变换是—种非线性操作，它使系统敏感初条件、极不稳定;在单峰映射中，无沦在 倍周期分叉点，还是在混沌区内周期窗口结束时，都是非线性机制使原来的稳定的轨道失稳，而后才进入新的轨道。
在耗散结构理论中，系统演化过程中热力学分枝的失稳、稳定的耗散结构的出现，其机制是子系统间通过相互作用实现的协同运动，而这种相互作用正是非线性的一种重要物理机制。
生物体在无外界物质、能量输入时，它的耗散机制会使其失稳而滑向热力学平衡态;在保守系统中，随机网的存在使系统在一定程度上呈现不稳定性。这些起不稳定作用的机制都是我们已讨论的非线性机制。
综合以上两个方面可见，非线性既是稳定的原因，也是不稳定的原因，在不同情况下它扮演不同的角色。非线性同是稳定和不稳定的必要条件，而不是它们的充分条件，系统稳定与否和非线性机制没有对应关系，系统的稳定或不稳定在不同情况下对应于某些非线性机制或某些非线性机制与其它因素的结合方式。例如：在混沌现象中，非线性机制产生奇异吸引子相空间的局部不稳定性，整体耗散性或有限性等非线性机制造成奇异吸引子的整体稳定性，两者的结合才产生了具有特定分维的奇异吸引子;在孤立子现象中，非线性项与色散项的巧妙平衡才使满足KdV方程的孤立子呈现稳定性，成为纯粹的拟序结构。所以在考察非线性与稳定性问题时，要依据具体情况做具体分析。